MAKALAH ALJABAR LINIER | Information Share

Daftar Isi

Cover i

Kata Pengantar ii

Daftar IsI iii

BAB I 1

A. MATRIK 1

Invers matriks 5

BAB II 6

B. Vektor 6

Notasi Vektor 6

Kesamaan dua Vektor 7

Operasi Vektor 8

Invers matriks 5

BAB III 9

C. Persamaan Linier 9

Persamaan Linier Satu Variabel 9

Persamaan Linier Dua Variabel 10

Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel 11

BAB IV 12

D. Penutup 12

Kesimpulan 13

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Pengasih Lagi Maha Penyayang, karena berkat Rahmat dan Hidayat-Nya, saya bisa menyusun dan menyelesikan makalah yang berisi tentang “Matrik, Vektor Dan Persamaan Linier” sebagai salah satu tugas mata pelajaran “Aljabar Linier”. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah memberikan informasi yang sebagian besar di ambil dari www.google.com materi tentang Matrik, Vektor, Persamaan Linier dan buku catatan penulis sendiri. Penulis juga menyadari bahwa dalam penyusunan makalah masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik serta saran yang

Membangun menyempurnakan makalah ini dan dapat menjadi acuan dalam menyusun makalah-makalah atau tugas-tugas selanjutnya. Penulis juga memohon maaf apabila dalam penulisan makalah ini terdapat kesalahan pengetikan dan kekeliruan sehingga membingungkan pembaca dalam memahami maksud penulis.

Bandar Lampung,13 Desember 2012

Penulis

BAB I

A. MATRIK

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Penulisan matriks:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

atau

$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix}$ Matriks di atas berordo 3x2.

Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.

Matriks Transpose (A^t)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

$A^t= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}$ $A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix}$

maka matriks transposenya (A^t) adalah

Operasi perhitungan pada matriks

Kesamaan 2 matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix}$

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

maka $x= \frac {1}{2}$

maka $y= -\frac {1}{2}$

maka $z= \frac {9}{2}$

$= 2\left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac {1}{2}+ 5 \left ( \frac{9}{2} \right )$

Penjumlahan matriks

2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3+6x & 5+z-y \\ 2y+3 & 8 & -14 \end{pmatrix}$

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3-6x & 5-z-y \\ -2y-1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

$3 \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18x & 3z-3y \\ 6y+6 & 12 & -21 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

$B= \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ dan

maka $A \times B= \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}$

Contoh:

$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 & 76 \\ 35 & 64 \end{pmatrix}$

Determinan suatu matriks

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

maka Determinan A (ditulis $\left\vert A \right\vert$ ) adalah:

$\left\vert A \right\vert= a \times d - b \times c$

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika $A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ maka tentukan $\left\vert A \right\vert$ !

$\left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix}$

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

$\left\vert A \right\vert = a.e.i + b.f.g + c.d.h - g.e.c - h.f.a - i.d.b$

Contoh:

$A= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ maka tentukan $\left\vert A \right\vert$ !

$\left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} -2 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix}$

$\left\vert A \right\vert = (-2.2.5) + (0.-1.-1) + (1.3.-3) - (1.2.1) - (-2.-1.-3) - (0.3.5) = -20+0-9-2+6-0 = -25$

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika $P= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ maka tentukan $\left\vert P \right\vert$ dengan ekspansi baris pertama!

$\left\vert P \right\vert= -2 \left\vert \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right\vert -0 \left\vert \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right\vert +1 \left\vert \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right\vert$

$\left\vert P \right\vert= -2 (10-3) -0 + 1(-9-2) = -25$

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

$P= \begin{pmatrix} -4 & 5x\\ -x & 20 \end{pmatrix}$

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

Invers matriks

Invers matriks 2x2

Misalkan:

$A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

maka inversnya adalah:

$A^{-1}= \frac {1}{\left\vert A \right\vert} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \frac {1}{a.d-b.c} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$

Sifat-sifat invers matriks

$A . A^{-1} = I = A^{-1}. A$

$(AB)^{-1} B^{-1}. A^{-1}$

$(A^{-1})^{-1} = A$

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

Jika diketahui matriks A.X=B

$A^{-1}.A.X = A^{-1}.B$

$I.X = A^{-1}.B$

$X= A^{-1}.B$

Jika diketahui matriks X.A=B

$X.A.A^{-1} = B.A^{-1}$

$X.I = B.A^{-1}$

$X= B.A^{-1}$

BAB II

B. VEKTOR

Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.^[1] Vektor sering ditandai sebagai

$\overrightarrow{AB}.$

Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.Besaran Vektor : adalah Besaran yang selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya, juga ditentukan oleh arahnya. Contoh : kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama. Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Notasi Vektor

Secara grafis vektor dapat dilukiskan sebagai sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan nilai atau besar vektor dan anak panah menunjukkan arah vektor.

Vektor F di tulis :

atau

Besar vektor F ditulis /

/ atau F

Contoh : F = /

/ = 10 satuan.

a. A = B, jika kedua vektor tersebut mempunyai panjang dan arah yang sama.

adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang

tetapi arahnya berlawanan dengan arah

c. k

adalah vektor yang panjangnya k kali panjang

, dengan arah yang sama dengan

jika k positif. Dan berlawanan dengan

jika k negatif.

Sifat-sifat vektor.

Sifat komutatif.

+ (

) = (

) +

Sifat assosiatif.

3. a (

) = a

+ a

4. /

/ + /

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

$\left\|\mathbf{R}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}$

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}$

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara mengganti tanda + menjadi tanda -

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

$\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{i}} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{j}} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{k}}$

BAB III

C. PERSAMAAN LINEAR

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

$y = mx + b.\,$

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x³, y^1/2, dan

bukanlah persamaan linear.

Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

a. x + 1 = 8

b. y – 5 = 2

Kedua kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung “=” (sama dengan). Kalimat terbuka seperti itu disebut persamaan. Pada persamaan di atas, setiap variabelnya berpangkat satu. Persamaan yang demikian disebut persamaan linear. Karena kedua persamaan linear tersebut juga hanya memiliki satu variabel, yaitu x dan y, maka persamaan-persamaan yang demikian disebut persamaan linear satu variabel (PLSV).

Berikut ini contoh beberapa persamaan lain.

a. x + y = 4 (persamaan linear dua variabel)

b. x² + 4x = –4 (persamaan kuadrat satu variabel)

c. x² + y² = 14 (persamaan kuadrat dua variabel)

Contoh sistem persamaan linear dua variabel:

$x + 2y = 10,\,$ ,

$3b + 5c = 4d+ 20,\,$ ,

$5x - 3y +6 = -9x + 8y+ 4,\,$

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.

Bentuk Umum

$Ax + By + C = 0,\,$

dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

Bentuk standar

$ax + by = c,\,$

di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

Bentuk titik potong gradien

Sumbu-y

$y = mx + b,\,$

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.

Sumbu-x

$x = \frac{y}{m} + c,\,$

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.

Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.$

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ adalah koefisien untuk variabel pertama, x₁, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.

BAB IV

Kesimpulan

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Secara grafis vektor dapat dilukiskan sebagai sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan nilai atau besar vektor dan anak panah menunjukkan arah vektor.

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Penutup

Makalah Aljabar Linier ini dibuat untuk memenuhui suatu syarat untuk kelulusan nilai mata kuliah Aljabar Linier, dan itulah tadi isi dari semua materi yang penulis cari dari berbagi buku referensi Serta dari situs www.google.com. semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk penulis dan para pembaca.

Penulis mengakui bahwa dalam makalah ini masih banyak sekali kata-kata yang salah dan tidak benar, untuk itu penulis berharap kritik dan saran sangat penulis harapkan, karna akan menjadi suatu pacuan untuk penulis sendiri. Dan penulis ucapkan Terima Kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan Makalah ini.

Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel 11

Panjang Vektor

Kesamaan dua vektor

Kesejajaran dua vektor

Operasi vektor

Perkalian skalar

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Vektor satuan

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk Umum

Bentuk standar

Bentuk titik potong gradien

Sumbu-y

Sumbu-x

Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel

Artikel Terkait: